Resolución de sistemas lineales

Repasemos el producto matriz-vector:

Esta operación tiene dos operandos: una matriz y un vector. El resultado es un vector. A los operandos los denominaremos respectivamente A y x, y al resultado, b.

Un problema recurrente en Ingeniería consiste en obtener cuál es el vector x cuando A y b son dados:

La ecuación matricial \(Ax = b\) es una manera abreviada de expresar un sistema de ecuaciones lineales. Por ejemplo, la ecuación del diagrama es equivalente al siguiente sistema de tres ecuaciones que tiene las tres incógnitas \(w\), \(y\) y \(z\):

\[\begin{split}\begin{align} 36w + 51y + 13z &= 3 \\ 52w + 34y + 74z &= 45 \\ 7y + 1.1z &= 33 \\ \end{align}\end{split}\]

En matemáticas, este sistema se representa matricialmente así:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} 36 & 51 & 13 \\ 52 & 34 & 74 \\ & 7 & 1.1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 45 \\ 33 \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

La teoría detrás de la resolución de problemas de este tipo usted la aprenderá en sus ramos de matemáticas. Sin embargo, como este tipo de problemas aparece a menudo en la práctica, aprenderemos cómo obtener rápidamente la solución usando Python.

Dentro de los varios módulos incluídos en NumPy (por ejemplo, ya vimos numpy.random), está el módulo numpy.linalg, que provee algunas funciones que implementan algoritmos de álgebra lineal, que es la rama de las matemáticas que estudia los problemas de este tipo. En este módulo está la función solve, que entrega la solución x de un sistema a partir de la matriz A y el vector b:

>>> a = array([[ 36. ,  51. ,  13. ],
...            [ 52. ,  34. ,  74. ],
...            [  0. ,   7. ,   1.1]])
>>> b = array([  3.,  45.,  33.])
>>> x = solve(a, b)
>>> x
array([-7.10829222,  4.13213834,  3.70457422])

Podemos ver que el vector x en efecto satisface la ecuación Ax = b:

>>> dot(a, x)
array([  3.,  45.,  33.])
>>> b
array([  3.,  45.,  33.])

Sin embargo, es importante tener en cuenta que los valores de tipo real casi nunca están representados de manera exacta en el computador, y que el resultado de un algoritmo que involucra muchas operaciones puede sufrir de algunos errores de redondeo. Por esto mismo, puede ocurrir que aunque los resultados se vean iguales en la consola, los datos obtenidos son sólo aproximaciones y no exactamente los mismos valores:

>>> (dot(a, x) == b).all()
False