Ejercicio sacado de [Abel96] (fuente).
El método computacional más común para calcular raíces cuadradas (y otras funciones también) es el método de Newton de aproximaciones sucesivas. Cada vez que tenemos una estimación \(y\) del valor de la raíz cuadrada de un número \(x\), podemos hacer una pequeña manipulación para obtener una mejor aproximación (una más cercana a la verdadera raíz cuadrada) promediando \(y\) con \(x/y\).
Por ejemplo, calculemos la raíz cuadrada de 2 usando la aproximación inicial \(\sqrt{2}\approx 1\):
| Estimación \(y\) | Cuociente \(x/y\) | Promedio |
|---|---|---|
| \(1\) | \(2/1 = 2\) | \((2 + 1 )/2 = 1.5\) |
| \(1.5\) | \(2/1.5 = 1.3333\) | \((1.3333 + 1.5 )/2 = 1.4167\) |
| \(1.4167\) | \(2/1.4167 = 1.4118\) | \((1.4118 + 1.4167)/2 = 1.4142\) |
| \(1.4142\) | ... | ... |
Al continuar este proceso, obtenemos cada vez mejores estimaciones de la raíz cuadrada.
El algoritmo debe detenerse cuando la estimación es «suficientemente buena», que debe ser un criterio bien definido.
Escriba un programa que reciba como entrada un número real \(x\) y calcule su raíz cuadrada usando el método de Newton. El algoritmo debe detenerse cuando el cuadrado de la raíz cuadrada estimada difiera de \(x\) en menos de 0,0001.
(Este criterio de detención no es muy bueno).
Escriba un programa que reciba como entrada el número real \(x\) y un número entero indicando con cuántas cifras decimales de precisión se desea obtener su raíz cuadrada.
El método de Newton debe detenerse cuando las cifras de precisión deseadas no cambien de una iteración a la siguiente.
Por ejemplo, para calcular \(\sqrt{2}\) con dos cifras de precisión, las estimaciones sucesivas son aproximadamente 1; 1,5; 1,416667 y 1,414216. El algoritmo debe detenerse en la cuarta iteración, pues en ella las dos primeras cifras decimales no cambiaron con respecto a la iteración anterior:
Ingrese x: 2
Cifras decimales: 2
La raiz es 1.4142156862745097
(La cuarta aproximación es bastante cercana a la verdadera raíz 1.4142135623730951).
| [Abel96] | Harold Abelson, Gerald Jay Sussman. Structure and Interpretation of Computer Programs. 2nd Edition. MIT Press, 1996. |