Matrices especiales

1. Una matriz a es simétrica si para todo par de índices i y j se cumple que a[i, j] == a[j, i].

   Escriba la función es_simetrica(a) que indique si la matriz a es simétrica o no.

   Cree algunas matrices simétricas y otras que no lo sean para probar su función.

2. Una matriz a es antisimétrica si para todo par de índices i y j se cumple que a[i, j] == -a[j, i] (note el signo menos).

   Escriba la función es_antisimetrica(a) que indique si la matriz a es antisimétrica o no.

   Cree algunas matrices antisimétricas y otras que no lo sean para probar su función.

3. Una matriz a es diagonal si todos sus elementos que no están en la diagonal principal tienen el valor cero. Por ejemplo, la siguiente matriz es diagonal:

   \[\begin{split}\begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

   Escriba la función es_diagonal(a) que indique si la matriz a es diagonal o no.

4. Una matriz a es triangular superior si todos sus elementos que están bajo la diagonal principal tienen el valor cero. Por ejemplo, la siguiente matriz es triangular superior:

   \[\begin{split}\begin{bmatrix} 9 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 8 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

   Escriba la función es_triangular_superior(a) que indique si la matriz a es trangular superior o no.

5. No es dificil adivinar qué es lo que es una matriz triangular inferior. Escriba la función es_triangular_inferior(a). Para ahorrarse trabajo, llame a es_triangular_superior desde dentro de la función.

6. Una matriz es idempotente si el resultado del producto matricial consigo misma es la misma matriz. Por ejemplo:

   \[\begin{split}\begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

   Escriba la función es_idempotente(a) que indique si la matriz a es idempotente o no.

7. Se dice que dos matrices A y B conmutan si los productos matriciales entre A y B y entre B y A son iguales.

   Por ejemplo, estas dos matrices sí conmutan:

   \[\begin{split}\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 3 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 3 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 9 \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

   Escriba la función conmutan que indique si dos matrices conmutan o no. Pruebe su función con estos ejemplos:

   >>> a = array([[ 1, 3], [3, 2]])
   >>> b = array([[-1, 3], [3, 0]])
   >>> conmutan(a, b)
   True
   
   >>> a = array([[3, 1, 2], [9, 2, 4]])
   >>> b = array([[1, 7], [2, 9]])
   >>> conmutan(a, b)
   False